Un experimento como jugando (parte 5)

¿Las rectas aparecidas sólo habran sido ilusiones ópticas? ¿Una vana ilusión como las promesas de Alan Damián García? Es mejor confirmarlo de una buena vez.

¿Qué podemos hacer? Bueno, sabemos que los puntos de una recta tienen en común una pendiente, es decir y/x. Entonces hallemos esta razón para cada base: nº de términos/base, y grafiquemos esto:

(Hacer clic en la imagen para agrandar)

Si es que creen que la cuadrícula es la fuente de la supuesta ilusión óptica, pues la quitamos:

(Hacer clic en la imagen para agrandar)

Me parece que ya no hay lugar a dudas (a menos que quieran hacer un análisis estadístico, eso se los dejo a ustedes): hay una regularidad matemática metida en este asunto.

Un amigo me dijo: ¿para que sirve esto? ¿en que se puede aplicar? Diría simplemente que los descubrimientos y disquisiciones científicas no tienen porque tener aplicación inmediata. Como ejemplo pongo la historia de los números complejos. Si mal no recuerdo, no tuvo aplicación sino hasta la aparición de la electrónica. Entonces, la moraleja es que no todo tiene recompensa a corto plazo, excepto la recompensa de sertirte satisfecho por el esfuerzo hecho.

A propósito, el número de términos del ciclo se denomina número o periodo de Pisano. Revisen Wikipedia.

Un experimento como jugando (parte 4)

Pensé que sería interesante trabajar con bases aún más grandes. Así que modifiqué el código a fin de que sólo muestre la base y el nº de términos del ciclo. Helo aquí:

public class FibonacciÚltimaCifraConsolidado {
public static void main(String[] args) {
int nºTérminos;
int base;
int fNm2; // Fn-2
int fNm1; // Fn-1
int fN; // Fn
System.out.println("Base\tNº de Términos");
for (base = 2; base <= 2000; base++) { System.out.print(base + "\t"); nºTérminos = 0; fNm2 = 0; fNm1 = 1; do { nºTérminos++; fN = (fNm2 + fNm1) % base; fNm2 = fNm1; fNm1 = fN; } while ( (fNm2 != 0) || (fNm1 != 1)); System.out.println(nºTérminos); } } }

Por razones de espacio, no voy a mostrar los resultados. Baste decir que para la base 1991, el nº de términos es 90, pero para la base 1994, el ciclo es 5988. Pero sí les puedo mostrar una gráfica tipo dispersión XY, es decir la gráfica de una función y=f(x), donde x es la base, e y es el nº de términos del ciclo. La imagen es:

(Hacer clic en la imagen para agrandar)

Esto si que es espectacular. A pesar del aparente caos, surgen algunas tendencias (rectas en el gráfico). Al parecer no todo era tan aleatorio como pensabamos en un inicio.

Un experimento como jugando (parte 3)

¿Que pasaría si automatizaramos estos cálculos, por ejemplo, desde la base 2 a la 100? Bien, escribí un programa en Java, y lo compilé en Eclipse. El código fuente a continuación:

public class FibonacciÚltimaCifra {
public static void main(String[] args) {
int nºTérminos;
int base;
int fNm2; // Fn-2
int fNm1; // Fn-1
int fN; // Fn
System.out.println("Base\tSucesión\tNº de Términos");
for (base = 2; base <= 100; base++) {
System.out.print(base + "\t");
nºTérminos = 0;
fNm2 = 0;
fNm1 = 1;
do {
System.out.print(fNm2 + " ");
nºTérminos++;
fN = (fNm2 + fNm1) % base;
fNm2 = fNm1;
fNm1 = fN;
} while ( (fNm2 != 0) || (fNm1 != 1));
System.out.println(" " + fNm2 + " " + fNm1 + "\t" + nºTérminos);
}
}
}

Básicamente, este programa escribe la base, los términos de la sucesión hasta que aparezcan de nuevo los términos 0 1 (obviamente, la sucesión vuelve a repetirse a partir de aquí), y el número de términos hasta antes que aparezcan los términos primigenios (tamaño del ciclo). Los resultados, aquí:

Base	Sucesión	Nº de Términos
2	0 1 1 0 1	3
3	0 1 1 2 0 2 2 1 0 1	8
4	0 1 1 2 3 1 0 1	6
5	0 1 1 2 3 0 3 3 1 4 0 4 4 3 2 0 2 2 4 1 0 1	20
6	0 1 1 2 3 5 2 1 3 4 1 5 0 5 5 4 3 1 4 5 3 2 5 1 0 1	24
7	0 1 1 2 3 5 1 6 0 6 6 5 4 2 6 1 0 1	16
8	0 1 1 2 3 5 0 5 5 2 7 1 0 1	12
9	0 1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 0 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 0 1	24
10	0 1 1 2 3 5 8 3 1 4 5 9 4 3 7 0 7 7 4 1 5 6 1 7 8 5 3 8 1 9 0 9 9 8 7 5 2 7 9 6 5 1 6 7 3 0 3 3 6 9 5 4 9 3 2 5 7 2 9 1 0 1	60
11	0 1 1 2 3 5 8 2 10 1 0 1	10
12	0 1 1 2 3 5 8 1 9 10 7 5 0 5 5 10 3 1 4 5 9 2 11 1 0 1	24
13	0 1 1 2 3 5 8 0 8 8 3 11 1 12 0 12 12 11 10 8 5 0 5 5 10 2 12 1 0 1	28
14	0 1 1 2 3 5 8 13 7 6 13 5 4 9 13 8 7 1 8 9 3 12 1 13 0 13 13 12 11 9 6 1 7 8 1 9 10 5 1 6 7 13 6 5 11 2 13 1 0 1	48
15	0 1 1 2 3 5 8 13 6 4 10 14 9 8 2 10 12 7 4 11 0 11 11 7 3 10 13 8 6 14 5 4 9 13 7 5 12 2 14 1 0 1	40
16	0 1 1 2 3 5 8 13 5 2 7 9 0 9 9 2 11 13 8 5 13 2 15 1 0 1	24
17	0 1 1 2 3 5 8 13 4 0 4 4 8 12 3 15 1 16 0 16 16 15 14 12 9 4 13 0 13 13 9 5 14 2 16 1 0 1	36
18	0 1 1 2 3 5 8 13 3 16 1 17 0 17 17 16 15 13 10 5 15 2 17 1 0 1	24
19	0 1 1 2 3 5 8 13 2 15 17 13 11 5 16 2 18 1 0 1	18
20	0 1 1 2 3 5 8 13 1 14 15 9 4 13 17 10 7 17 4 1 5 6 11 17 8 5 13 18 11 9 0 9 9 18 7 5 12 17 9 6 15 1 16 17 13 10 3 13 16 9 5 14 19 13 12 5 17 2 19 1 0 1	60
21	0 1 1 2 3 5 8 13 0 13 13 5 18 2 20 1 0 1	16
22	0 1 1 2 3 5 8 13 21 12 11 1 12 13 3 16 19 13 10 1 11 12 1 13 14 5 19 2 21 1 0 1	30
23	0 1 1 2 3 5 8 13 21 11 9 20 6 3 9 12 21 10 8 18 3 21 1 22 0 22 22 21 20 18 15 10 2 12 14 3 17 20 14 11 2 13 15 5 20 2 22 1 0 1	48
24	0 1 1 2 3 5 8 13 21 10 7 17 0 17 17 10 3 13 16 5 21 2 23 1 0 1	24
25	0 1 1 2 3 5 8 13 21 9 5 14 19 8 2 10 12 22 9 6 15 21 11 7 18 0 18 18 11 4 15 19 9 3 12 15 2 17 19 11 5 16 21 12 8 20 3 23 1 24 0 24 24 23 22 20 17 12 4 16 20 11 6 17 23 15 13 3 16 19 10 4 14 18 7 0 7 7 14 21 10 6 16 22 13 10 23 8 6 14 20 9 4 13 17 5 22 2 24 1 0 1	100
26	0 1 1 2 3 5 8 13 21 8 3 11 14 25 13 12 25 11 10 21 5 0 5 5 10 15 25 14 13 1 14 15 3 18 21 13 8 21 3 24 1 25 0 25 25 24 23 21 18 13 5 18 23 15 12 1 13 14 1 15 16 5 21 0 21 21 16 11 1 12 13 25 12 11 23 8 5 13 18 5 23 2 25 1 0 1	84
27	0 1 1 2 3 5 8 13 21 7 1 8 9 17 26 16 15 4 19 23 15 11 26 10 9 19 1 20 21 14 8 22 3 25 1 26 0 26 26 25 24 22 19 14 6 20 26 19 18 10 1 11 12 23 8 4 12 16 1 17 18 8 26 7 6 13 19 5 24 2 26 1 0 1	72
28	0 1 1 2 3 5 8 13 21 6 27 5 4 9 13 22 7 1 8 9 17 26 15 13 0 13 13 26 11 9 20 1 21 22 15 9 24 5 1 6 7 13 20 5 25 2 27 1 0 1	48
29	0 1 1 2 3 5 8 13 21 5 26 2 28 1 0 1	14
30	0 1 1 2 3 5 8 13 21 4 25 29 24 23 17 10 27 7 4 11 15 26 11 7 18 25 13 8 21 29 20 19 9 28 7 5 12 17 29 16 15 1 16 17 3 20 23 13 6 19 25 14 9 23 2 25 27 22 19 11 0 11 11 22 3 25 28 23 21 14 5 19 24 13 7 20 27 17 14 1 15 16 1 17 18 5 23 28 21 19 10 29 9 8 17 25 12 7 19 26 15 11 26 7 3 10 13 23 6 29 5 4 9 13 22 5 27 2 29 1 0 1	120
31	0 1 1 2 3 5 8 13 21 3 24 27 20 16 5 21 26 16 11 27 7 3 10 13 23 5 28 2 30 1 0 1	30
32	0 1 1 2 3 5 8 13 21 2 23 25 16 9 25 2 27 29 24 21 13 2 15 17 0 17 17 2 19 21 8 29 5 2 7 9 16 25 9 2 11 13 24 5 29 2 31 1 0 1	48
33	0 1 1 2 3 5 8 13 21 1 22 23 12 2 14 16 30 13 10 23 0 23 23 13 3 16 19 2 21 23 11 1 12 13 25 5 30 2 32 1 0 1	40
34	0 1 1 2 3 5 8 13 21 0 21 21 8 29 3 32 1 33 0 33 33 32 31 29 26 21 13 0 13 13 26 5 31 2 33 1 0 1	36
35	0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 20 19 4 23 27 15 7 22 29 16 10 26 1 27 28 20 13 33 11 9 20 29 14 8 22 30 17 12 29 6 0 6 6 12 18 30 13 8 21 29 15 9 24 33 22 20 7 27 34 26 25 16 6 22 28 15 8 23 31 19 15 34 14 13 27 5 32 2 34 1 0 1	80
36	0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 19 17 0 17 17 34 15 13 28 5 33 2 35 1 0 1	24
37	0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 18 15 33 11 7 18 25 6 31 0 31 31 25 19 7 26 33 22 18 3 21 24 8 32 3 35 1 36 0 36 36 35 34 32 29 24 16 3 19 22 4 26 30 19 12 31 6 0 6 6 12 18 30 11 4 15 19 34 16 13 29 5 34 2 36 1 0 1	76
38	0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 17 13 30 5 35 2 37 1 0 1	18
39	0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 16 11 27 38 26 25 12 37 10 8 18 26 5 31 36 28 25 14 0 14 14 28 3 31 34 26 21 8 29 37 27 25 13 38 12 11 23 34 18 13 31 5 36 2 38 1 0 1	56
40	0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 15 9 24 33 17 10 27 37 24 21 5 26 31 17 8 25 33 18 11 29 0 29 29 18 7 25 32 17 9 26 35 21 16 37 13 10 23 33 16 9 25 34 19 13 32 5 37 2 39 1 0 1	60
41	0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 14 7 21 28 8 36 3 39 1 40 0 40 40 39 38 36 33 28 20 7 27 34 20 13 33 5 38 2 40 1 0 1	40
42	0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 13 5 18 23 41 22 21 1 22 23 3 26 29 13 0 13 13 26 39 23 20 1 21 22 1 23 24 5 29 34 21 13 34 5 39 2 41 1 0 1	48
43	0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 12 3 15 18 33 8 41 6 4 10 14 24 38 19 14 33 4 37 41 35 33 25 15 40 12 9 21 30 8 38 3 41 1 42 0 42 42 41 40 38 35 30 22 9 31 40 28 25 10 35 2 37 39 33 29 19 5 24 29 10 39 6 2 8 10 18 28 3 31 34 22 13 35 5 40 2 42 1 0 1	88
44	0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 11 1 12 13 25 38 19 13 32 1 33 34 23 13 36 5 41 2 43 1 0 1	30
45	0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 10 44 9 8 17 25 42 22 19 41 15 11 26 37 18 10 28 38 21 14 35 4 39 43 37 35 27 17 44 16 15 31 1 32 33 20 8 28 36 19 10 29 39 23 17 40 12 7 19 26 0 26 26 7 33 40 28 23 6 29 35 19 9 28 37 20 12 32 44 31 30 16 1 17 18 35 8 43 6 4 10 14 24 38 17 10 27 37 19 11 30 41 26 22 3 25 28 8 36 44 35 34 24 13 37 5 42 2 44 1 0 1	120
46	0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 9 43 6 3 9 12 21 33 8 41 3 44 1 45 0 45 45 44 43 41 38 33 25 12 37 3 40 43 37 34 25 13 38 5 43 2 45 1 0 1	48
47	0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 8 42 3 45 1 46 0 46 46 45 44 42 39 34 26 13 39 5 44 2 46 1 0 1	32
48	0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 7 41 0 41 41 34 27 13 40 5 45 2 47 1 0 1	24
49	0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 6 40 46 37 34 22 7 29 36 16 3 19 22 41 14 6 20 26 46 23 20 43 14 8 22 30 3 33 36 20 7 27 34 12 46 9 6 15 21 36 8 44 3 47 1 48 0 48 48 47 46 44 41 36 28 15 43 9 3 12 15 27 42 20 13 33 46 30 27 8 35 43 29 23 3 26 29 6 35 41 27 19 46 16 13 29 42 22 15 37 3 40 43 34 28 13 41 5 46 2 48 1 0 1	112
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98	0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 46 37 83 22 7 29 36 65 3 68 71 41 14 55 69 26 95 23 20 43 63 8 71 79 52 33 85 20 7 27 34 61 95 58 55 15 70 85 57 44 3 47 50 97 49 48 97 47 46 93 41 36 77 15 92 9 3 12 15 27 42 69 13 82 95 79 76 57 35 92 29 23 52 75 29 6 35 41 76 19 95 16 13 29 42 71 15 86 3 89 92 83 77 62 41 5 46 51 97 50 49 1 50 51 3 54 57 13 70 83 55 40 95 37 34 71 7 78 85 65 52 19 71 90 63 55 20 75 95 72 69 43 14 57 71 30 3 33 36 69 7 76 83 61 46 9 55 64 21 85 8 93 3 96 1 97 0 97 97 96 95 93 90 85 77 64 43 9 52 61 15 76 91 69 62 33 95 30 27 57 84 43 29 72 3 75 78 55 35 90 27 19 46 65 13 78 91 71 64 37 3 40 43 83 28 13 41 54 95 51 48 1 49 50 1 51 52 5 57 62 21 83 6 89 95 86 83 71 56 29 85 16 3 19 22 41 63 6 69 75 46 23 69 92 63 57 22 79 3 82 85 69 56 27 83 12 95 9 6 15 21 36 57 93 52 47 1 48 49 97 48 47 95 44 41 85 28 15 43 58 3 61 64 27 91 20 13 33 46 79 27 8 35 43 78 23 3 26 29 55 84 41 27 68 95 65 62 29 91 22 15 37 52 89 43 34 77 13 90 5 95 2 97 1 0 1	336
99	0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 45 35 80 16 96 13 10 23 33 56 89 46 36 82 19 2 21 23 44 67 12 79 91 71 63 35 98 34 33 67 1 68 69 38 8 46 54 1 55 56 12 68 80 49 30 79 10 89 0 89 89 79 69 49 19 68 87 56 44 1 45 46 91 38 30 68 98 67 66 34 1 35 36 71 8 79 87 67 55 23 78 2 80 82 63 46 10 56 66 23 89 13 3 16 19 35 54 89 44 34 78 13 91 5 96 2 98 1 0 1	120
100	0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 44 33 77 10 87 97 84 81 65 46 11 57 68 25 93 18 11 29 40 69 9 78 87 65 52 17 69 86 55 41 96 37 33 70 3 73 76 49 25 74 99 73 72 45 17 62 79 41 20 61 81 42 23 65 88 53 41 94 35 29 64 93 57 50 7 57 64 21 85 6 91 97 88 85 73 58 31 89 20 9 29 38 67 5 72 77 49 26 75 1 76 77 53 30 83 13 96 9 5 14 19 33 52 85 37 22 59 81 40 21 61 82 43 25 68 93 61 54 15 69 84 53 37 90 27 17 44 61 5 66 71 37 8 45 53 98 51 49 0 49 49 98 47 45 92 37 29 66 95 61 56 17 73 90 63 53 16 69 85 54 39 93 32 25 57 82 39 21 60 81 41 22 63 85 48 33 81 14 95 9 4 13 17 30 47 77 24 1 25 26 51 77 28 5 33 38 71 9 80 89 69 58 27 85 12 97 9 6 15 21 36 57 93 50 43 93 36 29 65 94 59 53 12 65 77 42 19 61 80 41 21 62 83 45 28 73 1 74 75 49 24 73 97 70 67 37 4 41 45 86 31 17 48 65 13 78 91 69 60 29 89 18 7 25 32 57 89 46 35 81 16 97 13 10 23 33 56 89 45 34 79 13 92 5 97 2 99 1 0 1	300

Interesante, ¿no?. No es precisamente una relación lineal...